算法的时间复杂度与空间复杂度

算法的时间复杂度

度量一个程序（算法）执行时间的两种方法：

• 事后统计的方法

  这种方法可行，但存在两个问题：

  • 一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；
  • 二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

• 事前估算的方法

  通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优。

时间频度

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

比如计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法：

• 忽略常数项

  

  结论:

  1. 2n+20 和 2n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 20 可以忽略。

  2. 3n+10 和 3n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 10 可以忽略。

• 忽略低次项

  

  结论:

  1. 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着 n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10。

  2. n^2+5n+20 和 n^2 随着 n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20。

• 忽略系数

  

  结论:

  1. 随着 n 值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明这种情况下, 5 和 3 可以忽略。

  2. 而 n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方才是关键。

时间复杂度

一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数，用 T(n) 表示，若有某个辅助函数 f(n) ，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n) 是 T(n) 的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称 Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为 O(n²)。

计算时间复杂度的方法：

1. 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 ==> T(n)=n²+7n+1；

2. 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 ==> T(n) = n²；

3. 去除最高阶项的系数 T(n) = n² ==> T(n) = n² ==> O(n²) 。

常见时间复杂度

说明：

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1) ＜ Ο(log2n) ＜ Ο(n) ＜ Ο(nlog2n) ＜ Ο(n2) ＜ Ο(n3) ＜ Ο(nk) ＜ Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法 。

• 常数阶 O(1)

  无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是 O(1)

  int i = 1;
  int j = 2;
  ++i;
  j++;
  int m = i + j;

  上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用 O(1) 来表示它的时间复杂度。

• 对数阶 O(log2n)

  

  int i = 1;
  while(i < n){
      i = i * 2;
  }

  说明：在 while 循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环 x 次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n 也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个 2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) 。

• 线性阶 O(n)

  for(i=1; i<=n; ++i){
  	j = i;
  	j++
  }

  说明：这段代码，for 循环里面的代码会执行 n 遍，因此它消耗的时间是随着 n 的变化而变化的，因此这类代码都可以用 O(n) 来表示它的时间复杂度。

• 线性对数阶 O(nlogN)

  for(m=1; m<n; m++){
  	i = 1;
  	while(i < n){
  	i = i * 2;
  	}
  }

  说明：线性对数阶 O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

• 平方阶 O(n²)

  for(x=1; i<=n; x++){
  	for(i=1; i<=n; i++){
  		j=i;
  		j++;
  	}
  }

  说明：平方阶 O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了 2 层 n 循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即 O(n²) 。如果将其中一层循环的 n 改成 m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

• 立方阶 O(n³) 、K次方阶 O (n^k)

  说明：参考上面的 O(n²) 去理解就好了，O(n³) 相当于三层 n 循环，其它的类似。

平均时间复杂度与最坏时间复杂度

1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关，如图:

   

算法的空间复杂度

1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度（Space Complexity）定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模 n 的函数。

2. 空间复杂度（Space Complexity）是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关，它随着 n 的增大而增大，当 n 较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况。

3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品（redis, memcache）和算法（基数排序）本质就是用空间换时间。